2. Transformaciones geométricas

Un paquete gráfico permite al usuario especificar que parte de una imagen definida se debe visualizar y dónde esta parte se debe colocar en el dispositivo de visualización. Cualquier sistema de coordenadas que sea conveniente, referido al sistema de referencia de coordenadas del mundo, se puede usar para definir la imagen.

2.1. Transformaciones bidimensionales Traslación

Se aplica una traslación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra. Convertimos un punto bidimensional al agregar las distancias de traslación, t_x y t_y a la posición de coordenadas original (x ,y) para mover el punto a una nueva posición (x’, y’).

Los polígonos se trasladan al sumar el vector de traslación a la posición de coordenadas de cada vértice y se vuelve a generar el polígono utilizando un nuevo conjunto de coordenadas y vértices y las especificaciones actuales de los atributos.

Rotación

Se aplica una rotación bidimensional en un objeto al cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una circunferencia en el plano de xy  para generar una rotación, especificamos un ángulo de rotación θ y la posición (x_r , y_r) del punto de rotación (o punto pivote) en torno al cual se gira el objeto.

2.2. Coordenadas homogéneas y representación matricial

En las aplicaciones de diseño y de creación de imágenes, realizamos traslaciones, rotaciones y  escalaciones para ajustar los componentes de la imagen en sus posiciones apropiadas. En este tema consideramos cómo se pueden volver a formular las representaciones de la matriz de modo que se pueden procesar de manera eficiente esas secuencias de transformación.

2.3. Composición de transformaciones bidimensionales Traslaciones

Se se aplican dos vectores de traslación sucesivos (t _x1, t_y1) y (t _x2 , t _y2 ) en la posición de coordenadas P, la localización transformada final P, la localización transformada final P’se calcula como:

donde se representan P y P’ como vectores de columna de coordenadas homogéneas. Podemos verificar este resultado al calcular el producto de la matriz para las dos agrupaciones asociativas. Asimismo, la matriz de transformación compuesta para esta secuencia de transformaciones es:

que demuestra que dos transformaciones sucesivas son aditivas.

Rotaciones

Dos rotaciones sucesivas que se aplican en el punto P producen la posición transformada

Al multiplicar las dos matrices de rotación, podemos verificar que dos rotaciones sucesivas son aditivas:

de modo que es posible calcular las coordenadas giradas finales con la matriz de rotación compuesta como

Escalaciones

Concatenar matrices de transformación para dos operaciones de escalación sucesivas produce la siguiente matriz de escalación compuesta:

La matriz resultante en este caso indica que las operaciones de escalación sucesivas son multiplicativas. Es decir, si debiéramos triplicar el tamaño de un objeto dos veces en una sucesión, el tamaño final sería nueve veces el tamaño original.

Rotación del punto pivote general

Con un paquete gráfico que sólo ofrezca una función de rotación para girar objetos con respecto del origen de las coordenadas, podemos generar casi cualquier punto pivote seleccionado (x r , y r ) al realizar la siguiente secuencia de operaciones de traslación-rotación-traslación:

1. Traslade el objeto de modo que se mueva la posición del punto pivote al origen de  las coordenadas.

2. Gire el objeto con respecto del origen de las coordenadas.

3. Traslade el objeto de manera que se regrese el punto pivote a su posición original.

Escalación del punto fijo general

La siguiente figura ilustra una secuencia de transformación para producir escalación con respecto de una posición fija seleccionada (x _f , y _f ) al utilizar una función de escalación que sólo puede escalar en relación con el origen de las coordenadas.

1. Traslade el objeto de modo que el punto fijo coincida con el origen de las coordenadas.

2. Escale el objeto con respecto del origen de las coordenadas

3. Utilice la traslación inversa del paso 1 para regresar el objeto a su posición original.

Propiedades de concatenación

La multiplicación de matrices es asociativa. Para tres matrices cualesquiera A, B y C, el producto matricial A·B·C se puede llevar a cabo al multiplicar primero a por B o multiplicar primero B por C:

A·B·C =(A·B)·C =A·(B·C )

2.4.Transformación ventana-área de vista

Algunos paquetes gráficos permiten que el programador especifique coordenadas de primitivas de salida en un sistema de coordenadas de mundo de punto flotante, usando las unidades que sean relevantes para el programa de aplicación: angstroms, micras, metros, millas, años luz, etcétera. Se emplea el término de mundo porque el programa de aplicación representa un mundo que se crea o presenta interactivamente para el usuario:

Como las primitivas de salida se expresan en coordenadas de mundo, hay que indicar al paquete de subrutinas gráficas cómo establecer la correspondencia entre las coordenadas de mundo y las coordenadas de pantalla (usaremos el término específico coordenadas de pantalla para relacionar este análisis específicamente con SRGP, pero podrían usarse dispositivos de impresión, en cuyo caso sería más apropiado el término coordenadas de dispositivo).

2.5.Transformaciones de composición general y de eficiencia computacional

Una transformación bidimensional general, que representa una combinación de traslaciones, rotaciones y escalaciones. Solo necesitamos efectuar cuatro multiplicaciones y cuatro adiciones para transformar las posiciones de las coordenadas. Este es el número máximo de cálculos que se requieren para cualquier secuencia de transformación, una vez que se han concatenado las matrices individuales y evaluadas los elementos de la matriz compuesta. Sin concatenación, se aplicarían las transformaciones individuales una a la vez y se podría reducir en forma considerable el número de cálculos. De esta manera, una implementación eficiente de las operaciones de transformación consiste en formular matrices de transformación, concatenar cualquier secuencia de transformación y calcular las coordenadas transformadas

2.6.Representación matricial de transformaciones tridimensionales

Así como las transformaciones bidimensionales se pueden representar con matrices de3 X 3 usando coordenadas homogéneas, las transformaciones tridimensionales se pueden representar con matrices de 4 X 4, siempre y cuando usemos representaciones de coordenadas homogéneas de los puntos en el espacio tridimensional. Así, en lugar de representar un punto como (x, y, z ), lo hacemos como (x, y, z, W ), donde dos de estos cuádruplos representan el mismo punto si uno es un multiplicador distinto de cero del otro: no se permite el cuádruplo (0, 0, 0, 0). Como sucede en el espacio bidimensional, la representación estándar de un punto (x, y, z, W ) con W ≠ 0 se indica (x/W, y/W, z/W, 1).

2.7.Composición de transformaciones tridimensionales

El objetivo es transformar los segmentos de línea dirigida P₁P₂ y P₁P₃ en la figura 2.18 de su posición inicial en la parte (a) a su posición final en la parte (b). De esta manera, el punto P₁ se trasladará al origen P ₁P₂ quedará en el eje positivo y P ₁P₃ quedará en la mitad del eje positivo del plano (x, y ). Las longitudes de las líneas no se verán afectadas por la transformación. Se presentan dos formas de lograr la transformación deseada. El primer método es componer las transformaciones primitivas T , R _x , R_y y R_z . Este método, aunque es algo tedioso, es fácil de ilustrar y su comprensión nos ayudará en nuestro conocimiento de las transformaciones. El segundo método, que utiliza las propiedades de las matrices ortogonales especiales que se analiza en la sección anterior, se explica de manera mas breve pero es más abstracto.